第40讲：《一般周期函数的傅里叶级数》内容小结、课件与典型例题与练习

一、周期为 的函数的傅里叶级数

设函数 在 上有定义，以 为周期，且在 上满足狄利克雷收敛定理的条件(在一个周期上分段连续，并且在一个周期内只有有限个极值点和有限个第一类间断点)，则根据周期为 的周期函数傅里叶级数展开的步骤，周期为 的函数的傅里叶级数展开具有完全一致的步骤，只是系数计算公式和三角级数在描述上略有不同，具体归纳如下：

第一步：计算傅里叶系数

由傅里叶系数计算公式计算傅里叶系数：

第二步：以傅里叶系数为系数，写出三角级数第三步：基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性.

由狄利克雷收敛定理写出级数的和函数：

其中 和 分别为函数 在点 处的右极限与左极限．即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身 ；在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值．

第四步：函数展开成傅里叶级数

依据定理得到和函数等于被展开函数 的集合 ，最终写出附带集合 的等式

【注1】 当 时，则为周期为 的函数的傅里叶级数．

【注2】 类似周期为 的奇偶延拓、周期延拓，可以将任意有限区间 ，，， 上的函数展开为周期大于等于 的傅里叶级数.

二、傅里叶级数的复数形式

设 是周期为 的周期函数，且

则利用欧拉公式：

则有

注意到

因此得傅里叶级数的复数形式：

三、Parseval等式

设 是以 为周期的连续函数，且其傅里叶系数为 ，则

该等式称为Parseval（帕塞瓦尔）等式.

【注1】 当 即为常用的周期为   的连续函数对应的Parseval等式：

【注2】 在函数满足条件并说明等式名称的前提下Parseval等式可以直接应用于解题.

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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